2.3 实数连续性定理

这节介绍单调有界收敛定理、闭区间套定理、Bolzano-Weierstrass 定理、Cauchy 收敛准则、确界原理, 以及后续提及的紧集, 在十进制小数的定义下, 这六大连续性定理是互相等价的, 也即可以从其中任意一个定理作为条件推出其他定理.

1 单调有界收敛定理

见单调有界收敛定理.

2 闭区间套定理

闭区间套定理

设闭区间组成的数列 ${[a_{n}, b_{n}]}$ 满足

$[a_{n}, b_{n}] \supset [a_{n + 1}, b_{n + 1}]$ .
$lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0$ .

则存在唯一的 $ξ \in ⋂_{n = 1}^{\infty} [a_{n}, b_{n}]$ , 且 $lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} b_{n} = ξ$ .

证明

先证明存在性. 注意到 ${a_{n}}$ 单调递增, 且 $a_{n} \leq b_{1}$ , 故由单调有界收敛定理知 ${a_{n}}$ 收敛, 设 $lim_{n \to \infty} a_{n} = ξ$ , 且 $a_{n} \leq ξ$ . 同理 ${b_{n}}$ 收敛, 则

lim_{n \to \infty} b_{n} = lim_{n \to \infty} [(b_{n} - a_{n}) + a_{n}] = 0 + ξ = ξ,

且 $b_{n} \geq ξ$ . 从而 $a_{n} \leq ξ \leq b_{n}$ , 也即 $ξ \in ⋂_{n = 1}^{\infty} [a_{n}, b_{n}]$ .

下面证明唯一性. 假设存在不同的 $ξ, ξ^{'} \in ⋂_{n = 1}^{\infty} [a_{n}, b_{n}]$ , 则 $ξ, ξ^{'} \in [a_{n}, b_{n}], \forall n$ , 因此

| ξ - ξ^{'} | \leq | a_{n} - b_{n} | .

令 $n \to \infty : | ξ - ξ^{'} | \leq 0$ , 矛盾. 因此 $ξ$ 是唯一的.

综上, 结论获证.

推论

设开区间组成的数列 ${(a_{n}, b_{n})}$ 满足

$a_{n} < a_{n + 1} < b_{n + 1} < b_{n}$ .
$lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0$ .
则存在唯一的 $ξ \in ⋂_{n = 1}^{\infty} (a_{n}, b_{n})$ , 且 $lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} b_{n} = ξ$ .

证明

证明与闭区间套定理的证明是类似的.

3 Bolzano-Weierstrass 定理

Bolzano-Weierstrass 定理

有界数列必存在收敛子列.

证明

证明一: 由 Cauchy收敛准则的证明可以看出, 任何一个数列 ${x_{n}}$ 都能抽取单调子列 ${x_{n_{k}}}$ . ${x_{n}}$ 有界, 即 ${x_{n_{k}}}$ 有界, 则由单调有界收敛定理, 可得 ${x_{n_{k}}}$ 收敛.

证明二: 设 ${x_{n}}$ 有界, 设 $a < x_{n} < b$ , 通过二分法构造闭区间套: 把 $[a, b]$ 二等分为 $[a, \frac{a + b}{2}], [\frac{a + b}{2}, b],$ 则这两个闭区间中至少有一个包含 ${x_{n}}$ 的无穷多项, 把这个区间记为 $[a_{1}, b_{1}]$ , 此时 $b_{1} - a_{1} = \frac{b - a}{2}$ .
再把 $[a_{1}, b_{1}]$ 二等分, 同上可得 $[a_{2}, b_{2}]$ . 如此往复, 可得闭区间列 ${[a_{n}, b_{n}]}$ 满足:

$[a_{n}, b_{n}] \supset [a_{n + 1}, b_{n + 1}]$ .
$lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = lim_{n \to \infty} \frac{b - a}{2^{n}} = 0$ .
每一个 $[a_{n}, b_{n}]$ 都包含 ${x_{n}}$ 的无穷多项.

由 (1)(2) 结合闭区间套定理, 存在唯一的 $ξ \in ⋂_{n = 1}^{\infty} [a_{n}, b_{n}]$ , 且 $lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} b_{n} = ξ$ .
取 $x_{n_{1}} \in [a_{1}, b_{1}]$ , 则由 (3), 可取 $x_{n_{2}} \in [a_{2}, b_{2}], n_{2} > n_{1}$ . 以此类推, 可得子列 ${x_{n_{k}}}$ . 由于 $a_{k} \leq x_{n_{k}} \leq b_{k}$ , 令 $k \to \infty$ , 由数列极限的夹逼性得 $lim_{k \to \infty} x_{n_{k}} = ξ$ .
因此存在这样的收敛子列 ${x_{n_{k}}}$ .

证明二表明, ${x_{n_{k}}}$ 并非要像证明一中那样是单调的.

4 Cauchy 收敛准则

见 2.2节.

5 确界原理

我们定义过了数列的界, 下面我们在实数集的子集上定义界.

有界集

设 $A \subset R, A \neq \emptyset$ .

若 $\exists M \in R, \forall x \in A : x \leq M$ , 则称 M 是 A 的一个上界, 称 A 是上有界集.
若 $\exists m \in R, \forall x \in A : x \geq m$ , 则称 m 是 A 的一个下界, 称 A 是下有界集.
若 A 既是上有界集, 又是下有界集, 则称 A 是有界集, 也即 $\exists M > 0, \forall x \in A : | x | \leq M$ .

显然, 上下界都不是唯一的.

确界

设 $A \subset R$ 是上有界集, 若 $β : \forall x \in A : x \leq β$ , 且 $\forall ε > 0, \exists x \in A : x > β - ε$ , 则称 $β$ 是 $A$ 的上确界, 记为 $β = sup A$ .
若 $α : \forall x \in A : x \geq α$ , 且 $\forall ε > 0, \exists x \in A : x < α + ε$ , 则称 $α$ 是 $A$ 的下确界, 记为 $α = inf A$ .

性质

确界若存在必唯一.
若 A 有最大数或最小数, 则 $sup A = max A$ 或 $inf A = min A$ .
$sup A \in A \Leftrightarrow max A$ 存在; $inf A \in A \Leftrightarrow min A$ 存在.

证明

假设 A 有两个上确界, 记为 $β_{1}, β_{2} (β_{1} < β_{2})$ , 则 $\forall x \in A : x \leq β_{1} = β_{2} - (β_{2} - β_{1})$ . 这与 $β_{2} = sup A$ 矛盾, 因此 A 的上确界若存在则唯一. 同理得, A 的下确界若存在则唯一.
只证明第一个结论. 当 $max A$ 存在, 则 $\forall x \in A : x \leq max A$ . 又 $\forall ε > 0$ , 总有 $max A - ε < max A$ . 故由上确界定义可得 $sup A = max A$ .
只证明第一个结论. 当 $max A$ 存在, 由 (2), $sup A = max A \in A$ . 当 $sup A \in A$ , 则 $\forall x \in A : x \leq sup A$ , 因此 $max A$ 存在, 且 $sup A = max A$ . 从而结论获证.

确界原理

上有界集必存在上确界, 下有界集必存在下确界.

证明

我们只证明前一个结论, 后者同理可证.
注意到 $A$ 非空, 取 $a \in A$ . 由于 $A$ 上有界, 因此可取上界 $b (b > a)$ . 把 $[a, b]$ 二等分为
$[a, \frac{a + b}{2}], [\frac{a + b}{2}, b]$ .
则它们中必有一个与 $A$ 的交非空. 若 $[\frac{a + b}{2}, b] \cap A \neq \emptyset$ , 取 $[\frac{a + b}{2}, b]$ 为 $[a_{1}, b_{1}]$ ; 若 $[\frac{a + b}{2}, b] \cap A = \emptyset$ , 取 $[a, \frac{a + b}{2}]$ 为 $[a_{1}, b_{1}]$ . 于是 $b_{1}$ 是 $A$ 的上界, 且 $[a_{1}, b_{1}] \cap A \neq \emptyset$ .
依此类推, 我们得到闭区间列 ${[a_{n}, b_{n}]}$ 满足:

$[a_{n}, b_{n}] \supset [a_{n + 1}, b_{n + 1}]$ .
$lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = lim_{n \to \infty} \frac{b - a}{2^{n}} = 0$ .
每一个 $b_{n}$ 都是 $A$ 的上界, 且 $[a_{n}, b_{n}] \cap A \neq \emptyset$ .

由 (1)(2) 结合闭区间套定理, 存在唯一的 $β \in ⋂_{n = 1}^{\infty} [a_{n}, b_{n}]$ , 且 $lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} b_{n} = β$ . 下面就来证明 $β = sup A$ .

一方面, 由于 $\forall x \in A : x \leq b_{n}$ , 令 $n \to \infty : x \leq β$ , 因此 $β$ 是 $A$ 的上界.
另一方面, $\forall ε > 0$ , 由于 $lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0$ , 故 $\exists N \in N, \forall n > N : b_{n} - a_{n} < ε$ , 从而 $a_{n} > b_{n} - ε \geq β - ε, b_{n} < a_{n} + ε \leq β + ε$ . 也即 $[a_{n}, b_{n}] \subset (β - ε, β + ε)$ .
我们取定 $n_{0}$ , 则由 $[a_{n_{0}}, b_{n_{0}}] \cap A \neq \emptyset$ , $\exists x \in [a_{n_{0}}, b_{n_{0}}] \cap A \subset (β - ε, β + ε)$ , 故 $x > β - ε$ .

因此总能找到这样的 $x$ , 使得 $β - ε < x \leq β$ . 因此 $β = sup A$ . 从而结论获证.

规定:

若 $A$ 是上无界集, $sup A = + \infty ⟺ \forall b \in R, \exists x \in A : x > b$ .
若 $A$ 是下无界集, $inf A = - \infty ⟺ \forall a \in R, \exists x \in A : x < a$ .

可见, 对任何一个非空集合, $sup A, inf A$ 总是有意义的.

命题

设 $E \subset R, E \neq \emptyset$ , 若 $β \notin E$ , 则 $β = sup E$ 的充分必要条件是:
$\forall x \in E : x < β$ , 且存在极大化数列 ${x_{n}} \subset E$ , $lim_{n \to \infty} x_{n} = β$ . 称 ${x_{n}}$ 是极大化数列.
同理, 若 $α \notin E$ , 则 $α = inf E$ 的充分必要条件是:
$\forall x \in E : x > α$ , 且存在极小化数列 ${x_{n}} \subset E$ , $lim_{n \to \infty} x_{n} = α$ . 称 ${x_{n}}$ 是极小化数列.

证明

我们只证明第一个结论.

充分性: 由于 $β$ 是 $E$ 的上界, 且 $\forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N : | x_{n} - β | < ε$ , 也即 $x_{n} > β - ε$ . 特别地, 取定 $x_{N}$ 满足 $β - ε < x_{N} < β$ , 故 $β = sup E$ .
必要性: 由 $β = sup E, β \notin E$ , 得 $\forall x \in E : x < β$ 是显然的.
另一方面, $\forall ε > 0, \exists x \in E : x > β - ε$ .
特别地, 取 $ε = 1$ , $\exists x_{1} \in E : β - 1 < x_{1} < β$ .
再取 $ε = min {\frac{1}{2}, β - x_{1}}$ , $\exists x_{2} \in E : β - ε < x_{2} < β$ , 也即 $β - \frac{1}{2} < x_{2} < β$ , 且 $x_{1} < x_{2}$ .
如此往复, 可得 ${x_{n}}$ 满足 $β - \frac{1}{n} < x_{n} < β$ . 且 ${x_{n}}$ 严格单调递增 (这保证了我们取的 $x_{n}$ 不是重复的项), 从而 $lim_{n \to \infty} x_{n} = β$ .

确界的运算性质

设 $A, B \neq \emptyset$ , 则

若 $A \subset B$ , 则 $sup A \leq sup B, inf A \geq inf B$ .
$sup (- A) = - inf A, inf (- A) = - sup A$ , 这里 $- A = {- x | x \in A}$ .
$sup (c A) = c sup A, inf (c A) = c inf A$ , $c > 0$ , 这里 $c A = {c x | x \in A}$ .
$sup (A + B) = sup A + sup B, inf (A + B) = inf A + inf B$ , 这里 $A + B = {a + b | a \in A, b \in B}$ .

证明

我们这里都只证明第一个结论.

当 $B$ 上无界, $sup B = + \infty \geq sup A$ , 否则 $B$ 上有界, 则 $A$ 也上有界. 由 $A \subset B$ , 知 $\exists b \in B : b \geq a, \forall a \in A$ . 由于 $\forall ε > 0, \exists a_{0} \in A$ : $sup A - ε < a_{0}$ , 也即 $sup A - ε < a_{0} \leq b \leq sup B \Rightarrow sup A - sup B < ε .$ 由 $ε$ 的任意性, $sup A - sup B \leq 0$ , 故结论得证.
设 $inf A = α$ , 则 $\forall x \in A : x \geq α \Rightarrow (- x) \leq (- α)$ , 且 $\forall ε > 0, \exists x \in A : x < α + ε \Rightarrow (- α) - ε < (- x),$ 从而 $sup (- A) = - α = - inf A$ .
设 $β = sup A$ , 则 $\forall x \in A : x \leq β \Rightarrow (c x) \leq (c β)$ , 且 $\forall ε > 0, \exists x \in A : x > β - ε \Rightarrow (c x) > (c β) - c ε,$ 从而 $sup (c A) = c β = c sup A$ .
若 $A$ 或 $B$ 无上界, 容易看出 $A + B$ 无上界, 从而 $sup (A + B) = + \infty = sup A + sup B$ . 否则, 设 $β_{1} = sup A \in R, β_{2} = sup B \in R$ . 由确界原理, 这样的假设是合理的. 下面证明 $β_{1} + β_{2} = sup (A + B)$ .
- 一方面, $\forall x = a + b \in A, a \in A, b \in B$ , 有 $a \leq β_{1}, b \leq β_{2} \Rightarrow x = a + b \leq β_{1} + β_{2},$ 故 $β_{1} + β_{2}$ 是 $A + B$ 的上界.
- 另一方面, $\forall ε > 0, \exists a \in A, b \in B$ : $a > β_{1} - \frac{ε}{2}, b > β_{2} - \frac{ε}{2}$ , 从而 $x > β_{1} + β_{2} - ε$ .
  因此 $β_{1} + β_{2} = sup (A + B)$ , 从而结论得证.